Làm sao các nhà toán học phát minh ra được phép toán mới?

Theo mình hiểu thì nên dùng từ định nghĩa, hoặc nghĩ ra, thì sẽ phù hợp hơn. Vì ngta "tìm ra mỏ vàng" hoặc "phát minh ra máy bay", còn các phép toán nó là những thứ trừu tượng.

Vì sao người ta nghĩ ra được những thứ đó? Um thì các phép toán phức tạp thường được định nghĩa dựa vào các phép toán đơn giản hơn, như log là nghịch đảo của phép lũy thừa, tích phân thì dựa vào phép lấy giới hạn (lim), với ý tưởng sơ khai là một tổng vô hạn (cộng vô hạn các số hạng lại với nhau).

Một công việc cơ bản của toán học là định lượng các tính chất của các đối tượng. Đối tượng đó có thể là các con số, tập hợp, vector, các hình khối, các sự kiện ngẫu nhiên, hoặc những thứ trừu tượng hơn nữa. Sau khi định nghĩa ra những thứ đó thì nhà toán học sẽ khảo sát tính chất của chúng, định nghĩa ra các phép toán để đo lường các tính chất đó (như độ cong của một mặt cầu, tích vô hướng, tích có hướng giữa hai vector, diện tích dưới một đoạn của hàm số,...). Đây là một công việc vừa có tính sáng tạo cao, nhưng cũng vô cùng chặt chẽ và nghiêm mật. Nó cũng đòi hỏi một trí lực nhạy bén, quan sát tốt (để ý thấy các tính chất thú vị giữa các con số, đối tượng đó)...

Sau khi nghĩ ra rồi thì các nhà toán học trao đổi với nhau, xem chúng có hiệu quả ko, có cần điều kiện hay ràng buộc gì ko, có áp dụng bao quát được ko, rồi chuẩn hóa các ký hiệu, sau đó từ từ đưa vào sách vở trường viện.

Mình sẽ lấy ví dụ với phép log, vì nó cũng đơn giản (này là mình suy đoán thôi nha, có thể ông Napier đi từ hướng khác):

Giả sử ta muốn biết số 2 nhân cho chính nó bao nhiêu lần thì được số 500, thì ta lập phương trình: 2^x = 500

Nghiệm của pt này ko thể tính được dựa vào các phép cộng trừ nhân chia bình thường, nên tạm thời ta đặt cho nó một ký hiệu, rồi nghiên cứu nó sau.

Tổng quát, với pt: a^x = b, ta đặt:

x = log(a, b) (đọc là logarit cơ số a của b). Đây chỉ đơn thuần là ký hiệu, ta vẫn chưa biết tính nó như thế nào.

Bây giờ ta có tính chất:

a^m. a^n = a^(m+n)

Đặt x = a^m và y = a^n, ta có:

m + n = log(a, x.y)

Mà m = log(a, x) và n = log(a, y)

Nên log(a, x) + log(a, y) = log(a, x.y)

Đây là một tính chất rất thú vị, ta có thể dùng nó để tính thử log(2, 500):

log(2, 500) = log(2, 5.5.5.2.2) = 3.log(2, 5) + 2.log(2, 2) = 3.log(2, 5) + 2 (vì log(2, 2) = 1).

log(2, 5) vẫn là một số lẻ và ta phải tính mò (vd như tính coi 2^2.1 gần 5 chưa, chưa thì nhích lên 2^2.2,...). Nhưng khi đã tính được log của các số nhỏ này rồi thì ta có thể dựa vào đó tính được log của các số lớn hơn.