Trình bày cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 bằng phương pháp Bernoulli
kiến thức chung
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng:
(1) (hay )
trong đó p(x), q(x) là những hàm số liên tục, cho trước.
Nếu q(x) ≡ 0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
Nếu q(x) ≠0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
Cách giải bằng phương pháp Bernoulli:
a sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng tích:
Ta có:
Thế vào phương trình ta có:
Hay: (*)
Phương trình (*) có tới 4 thông số chưa biết là u, v, u’ , v’ nên không thể giải tìm u, v bất kỳ. Để tìm u, v thỏa mãn phương trình (*), ta cần chọn u, v sao cho triệt tiêu đi 1 hàm chưa biết.
Muốn vậy, ta chọn u(x) sao cho (**)
Ta dễ dàng tìm được hàm u(x) thỏa (**) vì (**) chính là phương trình tách biến. Khi đó:
Chọn C = 1 ta có:
Như vậy ta tìm được hàm u(x) nên từ (*) ta sẽ có:
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:
Vũ Trần Kim Nhã