Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các số nguyên tố.

Giả sử chỉ có hữu hạn các số nguyên tố là p1; p2; p3; …; pn và giả sử p1 < p2 < p3 < … < pn. Xét tích A = p1. p2. p3. … pn + 1. Rõ ràng A > pn nên A là hợp số, do đó A có ít nhất một ước nguyên tố p. Khi đó p1; p2; p3; ..; pn là tất cả các số nguyên tố nên tồn tại i thuộc {1, 2, …, n} sao cho p = pi. Như vậy A chia hết cho p; (p1.p2…pn) chia hết cho p nên 1 chia hết cho p, mâu thuẫn. Do đó, giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là sai. Vậy có vô hạn các số nguyên tố.